Contoh dan Pembahasan Soal Logika

Periksa apakah kalimat-kalimat di bawah ini merupakan pernyataan atau bukan pernyataan. Jika termasuk pernyataan, tentukanlah nilai kebenaraannya!

1. 5 adalah bilangan prima ganjil.
2. Setiap biangan ganjil habis dibagi 2.
3. Cepat selesaikanlah latihan ini!
4. Jumlah besar sudut segiempat adalah 180°
5. Benarkah Bali lebih terkenal dari Indonesia?
6. 3 adalah faktor dari 13
7. Kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan genap.
8. Jakarta adalah ibukota Indonesia.
9. 4 + 5 ‒ 4=3
10.  x + 3 =  6
11. Tolong ambilkan air minum!
12. Coklat adalah makanan yang enak.

Pembahasan :
1.    5 adalah bilangan prima ganjil.

•  Pernyataan. Karena bisa ditentukan benar atau salahnya.

Nilai kebenaran: BENAR
2.    Setiap bilangan ganjil habis dibagi 2.

• Pernyataan. Karena bisa ditentukan benar atau salahnya.

Nilai kebenaran: SALAH
3.    Cepat selesaikanlah latihan ini!

• Bukan pernyataan. Karena merupakan kalimat perintah (tidak bisa ditentukan benar atau salahnya)

4.   Jumlah besar sudut segiempat adalah 180°.

• Pernyataan. Karena bisa ditentukan benar atau salahnya.
• Nilai kebenaran: SALAH

5.    Benarkah Bali lebih terkenal dari Indonesia?

• Bukan pernyataan. Karena merupakan kalimat tanya (tidak bisa ditentukan benar atau salahnya).

6.    3 adalah faktor dari 13.

• Pernyataan. Karena bisa ditentukan benar atau salahnya.

Nilai kebenaran: SALAH
7.     Kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan genap.

• Pernyataan. Karena bisa ditentukan benar atau salahnya.

Nilai kebenaran: SALAH
8.     Jakarta adalah ibukota Indonesia.

• Pernyataan. Karena bisa ditentukan benar atau salahnya.
• Nilai kebenaran: BENAR

9.     4 + 5 ‒ 4 = 3

• Pernyataan. Karena bisa ditentukan benar atau salahnya.

Nilai kebenaran: BENAR
10.   x + 3 =  6

• Bukan pernyataan. Karena nilai variabel x tidak diketahui, sehingga tidak bisa ditentukan benar atau salahnya.

11.  Tolong ambilkan air minum!

• Bukan pernyataan. Karena merupakan kalimat perintah (tidak bisa ditentukan benar atau salahnya).

12.  Coklat adalah makanan yang enak.

• Bukan pernyataan. Karena kata “enak” sifatnya subjektif, sehingga tidak bisa ditentukan benar atau salahnya.

Logika

Logika dapat dilacak secara historis mulai dari kelahirannya pada jaman Yunani Kuno yang dipelopori oleh Aristoteles (384-322 SM).Tokoh ini belum menyebutkan dengan istilah “Logika”.Beliau menggunakan istilah “Analitika” dan “Dialektika”. Analitika digunakan untuk menyebut cara penalaran yang berdasarkan pada pernyataan-pernyataan yang benar. Sedang dialektika digunakan untuk menyebut cara penalaran yang berdasarkan pada patokan-patokan duga. Kemudian Analitika dan Dialektika, kedua-duanya merupakan jenis pengetahuan yang disebut Logika.
Dalam perkembangan selanjutnya, Logika pada umumnya dipandang sebagai salah satu cabang pengetahuan Filsafati.Kini, Logika ditetapkan secara pasti sebagai suatu ilmu, yakni ilmu mengenai penyimpulan formal atau ilmu tentang proses-proses penalaran. Hingga pertengahan abad 19, Logika yang paling berpengaruh adalah Logika Tradisional yang diciptakan oleh Aristoteles yang dikembangkan pada masa berikutnya, terutama dari abad 16 sampai abad 19.
Dalam perkembangan Logika, dikenal perbedaan penghampiran dalam menafsirkan tugas dan sifat dasar dari Logika.Berdasarkan hal tersebut, timbul adanya aliran-aliran (mazhab-mazhab) Logika yang didukung oleh ahli-ahli Logika. Pada pokoknya dapat dibedakan adanya lima mazhab besar dalam Logika, yaitu:

 (1) Mazhab Logika Tradisional
Pelopor mazhab ini adalah Aristoteles.Mazhab ini menafsirkan Logika sebagai suatu kumpulan aturan-aturan praktis yang menjadi petunjuk bagi pemikiran.

(2) Mazhab Logika Metafisis
Mazhab ini dipelopori oleh Frederich Hegel (1770-1831). Mazhab ini beranggapan bahwa susunan pikiran itu sebenarnya sama seperti kenyataan, sehingga Logika diangggap sama seperti metafisika. Tugas pokok Logika antara lain menafsirkan pikiran sebagai suatu tahap dari struktur kenyataan. Oleh karena itu untuk mengetahui kenyataan, orang harus belajar Logika dahulu.

(3) Mazhab Logika Epistemologis.
Mazhab ini dipelopori oleh Francis Herbert Bradley (1846-1924) dan Berdnard Bosanquet (1848-1923).Mazhab ini berpendapat bahwa untuk dapat mencapai pengetahuan yang memadai, maka pikiran logis dan perasaan harus digabung.Untuk dapat mencapai suatu kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan lainnya.

(4) Mazhab Logika Instrumentalis.
Pelopor mazhab ini ialah John Dewey (1859-1952).Mazhab ini disebut pula mazhab Logika Pragmatis.Logika ditafsirkan sebagai suatu alat (instrumen) dan langkah-langkah untuk memecahkan suatu masalah.

(5) Mazhab Logika Simbolis.
Pelopor mazhab ini ialah Leibniz, Boole, dan De Morgan.Mazhab ini sangat menekankan pentingnya bahasa simbol yang dipergunakan untuk mempelajari secara terperinci bagaimana akal itu harus bekerja.Metode yang banyak digunakan dalam mazhab ini adalah metode-metode dalam Matematika.Mazhab logika ini telah berkembang sangat teknis dan ilmiah yang sangat bercorak Matematika, sehingga disebutnya Logika Matematika (Mathematical Logic).
Sejak pertengahan abad 19, para ahli Matematika mengembangkan Logika Tradisional dengan metode-metode Matemat Simbolis. Logika Simbolis ini merupakan logika formal yang menelaah semata-mata bentuknya dan bukan isi dari apa yang dibicarakan. Karena kita akan banyak mempelajari Logika Simbolis ini, kirany Logika Simbolis ini merupakan logika formal yang menelaah semata-mata bentuknya dan bukan isi dari apa yang dibicarakan. Karena kita akan banyak mempelajari Logika Simbolis ini, kiranya ada baiknya apabila berikut ini dibicarakan beberapa pendapat tentang Logika Simbolis.
(1) James W. Amstrong dalam bukunya “Elements of Mathematics” menuliskan bahwa: “Logika Simbolis adalah studi tentang bagaimana pernyataan-pernyataan yang diketahui dan bagaimana nilai kebenarannya dapat ditentukan dari nilai-nilai kebenaran pernyataan-pernyataan semula”.
(2) Alonzo Church dalam bukunya “Symbolic Logic” menuliskan antara lain sebagai berikut: “Tujuan dari pembahasan Logika Formal dengan memakai bahasa logika yang diformalkan atau sistem tanda logika ialah menghindarkan makna ganda dan kelemahan logis dari bahasa sehari-hari”.
(3) Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic” menuliskan antara lain sebagai berikut: “Ilmu tentang penyimpulan yang sah, khususnya yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode Matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus akan memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda dari bahasa sehari-hari”.
(4) Corrinne Jacker berpendapat bahwa: “Pemakai simbol-simbol Matematika untuk mewakili bahasa, dan dengan simbol-simbol ini diolah sesuai dengan aturan-aturan Matematika untuk menetapkan apakah suatu pernyataan atau serangkaian pernyataan bernilai benar atau salah.
Pada perkembangan terakhir hingga saat ini, Logika Simbolis (Logika Matematika) mencakup 4 cabang, yaitu:

(1) Logika Pernyataan (Propositional Logic).
Suatu cabang Logika Simbolis yang membicarakan tentang pernyataan tunggal (pernyataan atom = pernyataan prima) dan pernyataan-pernyataan dengan perangkai yang disebut pernyataan majemuk (tersusun). Dalam menentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan tunggalnya diketahui, digunakan beberapa kaidah dan aturan-aturan.Pokok bahasan seperti ini sering disebut Kalkulus Pernyataan.

(2) Logika Sebutan
Logika Sebutan merupakan cabang dari Logika Simbolis yang menelaah tentang perubah (variable) dalam suatu kalimat, kuantifikasi (kuantor) dan aturan-aturan serta tata cara dalam penyimpulan dan menentukan sahnya suatu argumen. Pokok bahasan yang membicarakan ini sering disebut Kalkulus Sebutan.

(3) Logika Hubungan
Logika ini membicarakan hubungan pernyataan-pernyataan, misalnya: hubungan simetris, hubungan refleksif, hubungan transitif dan lain sebagainya. Pengertian, ciri, unsur dan aneka konsep yang bertalian dengan hubungan, juga merupakan pokok pembicaraan dari Logika Hubungan.

(4) Logika Himpunan
Logika Himpunan mempunyai kaitan yang sangat erat dengan Matematika, terutama dengan Teori Himpunan.Logika ini membicarakan tentang unsur-unsur suatu himpunan, operasi-operasi pada himpunan-himpunan dan hukum atau aturan-aturan yang berlaku.
Perkembangan Logika Simbolis mencapai puncaknya pada awal abad 20 dengan terbitnya karya Alfred North Whitehead dan Betrand Arthur William Russel dalam buku yang berjudul “Principia Mathematica”.Menyebutkan bahwa “Logika adalah masa muda dari Matematika dan Matematika adalah masa dewasa dari Logika”.Dengan terbitnya Principia Mathematica itu lahirlah pula aliran Logisisme dalam Matematika, yang semula dirintis oleh Frege. Inti ajaran aliran Logisisme ini karena seluruh konsep dan dalil Matematika dapat dikembalikan pada Logika. Logika tersebut tidak lain adalah Logika Simbolis atau Logika Matematika .Perkembangan berikutnya muncullah tokoh-tokoh Logika Simbolis dari pelbagai negara yang memberikan sumbangan-sumbangan yang sangat berharga, sehingga Logika Simbolis merupakan bidang pengetahuan yang sangat teknis dan sangat ilmiah. Setelah kita mempelajari serba sedikit perkembangan Logika, dapatkah kita menjawab pertanyaan: Apakah Logika itu dan untuk apakah kita mempelajari Logika? Di muka telah disebutkan bahwa Logika adalah suatu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang sah, baik yang bersifat deduktif maupun yang bersifat induktif.Logika sering dikatakan sebagai suatu teori berpikir.Kiranya lebih tepat apabila dikatakan bahwa Logika menuntun kepada kita bagaimana pemikiran itu seharusnya berjalan, dan bukanlah bagaimana pemikiran itu sebenarnya berjalan. Suatu hal yang tidak mudah untuk menganilisis suatu proses pemikiran; artinya, untuk mencoba mengetahui apa sebenarnya yang terjadi dalam suatu proses pemikiran. Karena ia ditentukan sebagian secara logis, sebagian berjalan secara otomatis dan sebagian lagi dapat dikatakan tak menentu. Kiranya sukar pula untuk diterima bahwa kita akan dapat memperbaiki cara kita berpikir dengan secara paksa memasukkan sesuatu dengan kaku yang seluruhnya dikuasai dan diatur oleh operasi-operasi Logika semata-mata. Suatu pemikiran yang produktif biasanya bergerak melalui liku-likunya sendiri yang tidak selalu jelas jalannya. Sehingga yang diamati oleh Logika hanyalah hasil pemikiran dan bukan proses pemikiran itu sendiri. Dengan perkataan lain, Logika sebagai pengatur dan bukan sebagai penggerak bagi pemikiran. Logika merumuskan hukum-hukum yang dapat digunakan sebagai alat untuk menilai apakah hasil suatu pemikiran benar/sah, dan bukanlah hukum-hukum itu akan dikenakan pada pemikiran itu sendiri. Sebab proses pemikiran yang kreatif tidak bergerak melalui jalan-jalan yang telah disediakan lebih dahulu, melainkan mengikuti suatu kaidah duga dan kaidah coba terlebih dahulu. Logika bertugas memisahkan yang benar dan yang salah. Meskipun demikian, kiranya tidak berlebihan apabila kita katakan bahwa dalam batas-batas tertentu kita dapat memperbaiki cara berpikir dengan jalan mempelajari Logika sebagai salah satu cara dalam menertibkan operasi-operasi/cara berpikir, sehingga jumlah hasil yang bernilai benar akan meningkat. Ringkasnya, Logika tidak mampu untuk menggantikan pemikiran yang kreatif.Suatu kekeliruan apabila kita menganggap bahwa Logika sebagai suatu teknik, sehingga setiap masalah dapat dipecahkan.

KALIMAT PERNYATAAN ATAU PROPOSISI
Setiap kumpulan kata yang berarti yang disusun menurut aturan tata bahasa disebut kalimat.Kalimat yang dibicarakan dalam logika Matematika adalah kalimat-kalimat yang menerangkan (indicative sentences/declarative sentences). Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu nilai benar atau nilai salah tetapi tidak kedua-duanya disebut pernyataan. Sekarang akan dibicarakan perbedaan antara pernyataan (statement) dan proposisi (proposition). Beberapa penulis, kedua istilah itu dianggap sama, bahkan dipakai secara berganti-ganti. Beberapa penulis lain hanya menyebutkan pernyataan, dan tidak menyebut-nyebut proposisi. Beberapa penulis lainnya lagi membedakan antara kedua istilah tersebut. Bagi kelompok pertama, yaitu penulis-penulis yang menganggap sama antara proposisi dan pernyataan (kalimat deklaratif) menyimpulkan bahwa istilah-istilah itu didefinisikan sebagai kalimat yang mempunyai nilai benar atau nilai salah, tetapi tidak kedua-duanya.

PERNYATAAN MAJEMUK DANTABEL KEBENARAN
Pada pembicaraan ini dan seterusnya kita hanya membicarakan pernyataan-pernyataan
saja. Pernyataan-pernyataan sederhana digandengkan menjadi pernyataan majemuk
(tersusun) dengan menggunakan kata-kata perangkai (penghubung). Kata-kata perangkai itu
adalah :
(1) “atau” dengan simbol “ Ú ”
(2) “dan” dengan simbol “&” atau “ Ù ”
(3) “apabila …. maka….” dengan simbol “ Þ ”
(4) “bila dan hanya bila” dengan simbol “ Û ”
Sedangkan negasi (sangkalan) suatu pernyataan digunakan kata-kata “tidak benar
bahwa” yang diberi simbol “-” di depan pernyataan yang disangkal (diingkar). Di depan
telah dikatakan bahwa pernyataan-pernyataan diberi simbol dengan huruf alfabet kecil: a, b,
c, d, ….. Sedangkan nilai “Benar” atau “Salah” suatu pernyataan disingkat berturut-turut
dengan “B” atau “S”.

A. Negasi (Sangkalan/Ingkaran)  ” -  “
Negasi suatu pernyataan ialah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan
semula bernilai benar, dan bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah.
Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel yang disebut tabel kebenaran untuk
negasi suatu pernyataan sebagai berikut:
Tabel 3.1.Tabel Nilai Kebenaran

Contoh : Jika a: “Ida suka mangga”
maka –a : “Tidak benar bahwa Ida suka mangga”.

B. Konjungsi Dua Pernyataan  ”a^b”

Konjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a & b” (dibaca “a dan b”) bernilai B
(benar), hanya apabila kedua pernyataan tunggalnya bernilai B, dan untuk nilai-nilai
kebenarana dan b lainnya, maka “a & b” bernilai S (salah).
Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran (tabel 3.2) konjungsi
dua pernyataan a dan b.
Tabel 3.2.Tabel Nilai Kebenaran
Konjungsi Dua Pernyataan a dan b

Contoh :
1) Misalkan “a” menyatakan “Tembok itu berwarna hitam”, maka negasi a yaitu “-a”
menyatakan “Tidak benar bahwa tembok itu berwarna hitam”. Lebih ringkas dikatakan
“Tembok itu tidak berwarna hitam”.
Apabila “b” menyatakan “Tembok itu berwarna putih”, maka b bukan negasi dari a.
Sebab apabila kenyataannya tembok itu berwarna hijau, maka baik a maupun b kedua
pernyataan bernilai salah. Hal ini bertentangan dengan definisi 3.1.
2) Jika p dan q keduanya bilangan real, maka negasi dari “p > q” adalah “tidak benar bahwa
p> q”. Tidak benar bahwa p > q tidak berarti bahwa p < q, sebab jika kenyataannya p =
q, maka baik p > q maupun p < q keduanya bernilai salah. Sehingga negasi dari “p > q”
adalah “p £ q”.
a -a -(-a)
Catatan: Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu berlainan,
artinya jika suatu pernyataan diketahui bernilai B, maka negasinya bernilai S dan
sebaliknya jika suatu pernyataan diketahui bernilai S, maka negasinya bernilai B.

C. Disjungsi Dua Pernyataan
Disjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a Ú b” (dibaca: “a atau b”) bernilai S hanya
apabila dua pernyataan tunggalnya bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a
danb lainnya, maka “a Ú b” bernilai B.
Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran disjungsi dua pernyataan a
danb (tabel 3.3) sebagai berikut:
Tabel 3.3.Tabel Nilai Kebenaran
Disjungsi Dua Pernyataan a dan b

Contoh:
1) “7 adalah bilangan prima atau 7 lebih besar dari 8” adalah disjungsi yang bernilai benar
(sesuai baris kedua dari tabel 3.3).
2) “5 adalah bilangan prima atau 5 membagi habis 20” adalah suatu dijungsi yang bernilai
benar.
3) “ 6 adalah faktor dari 9 atau 4 + 7 = 10” adalah suatu dijungsi yang bernilai salah.
4) Apabila x bilangan nyata, maka (x – 1)(x – 5) = 0 dipenuhi jika x = 1 Ú x = 5.
Disjungsi dua pernyataan yang didefinisikan sesuai dengan tabel 3.3 disebut disjungsiinklusif. Disjungsi jenis lain disebut disjungsi eksklusif. Disjungsi eksklusif dua pernyataan
adan b disimbolkan sebagai “a Ú b” (dibaca “atau a atau b”) dan didefinisikan sesuai dengan
tabel 3.4. Dalam buku ini, apabila ditentukan suatu disjungsi tanpa keterangan apa-apa, maka
yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.
Tabel 3.4.Tabel Nilai Kebenaran
Disjungsi Eksklusif dari a dan b.

D. Implikasi (Kondisional) Dua Pernyataan
Implikasi dua pernyataan a dan b diberi simbol “a Þ b” (dibaca “apabila a maka b”).
adisebut pendahulu (antecedent) dan b disebut pengikut (consequent).
Implikasi “a Þ b” bernilai S hanya apabila pendahulu a bernilai B dan pengikut b
bernilai S, untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka implikasi “a Þ b”
bernilai B.
Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran implikasi
aÞ b (tabel 3.5) berikut.
Tabel 3.5.Tabel Nilai Kebenaran
Implikasi a Þ b

Dalam percakapan sehari-hari pernyataan majemuk “apabila … maka …” biasanya
ada suatu hubungan antara pendahulu dan pengikut.
Contoh:
Apabila matahari terbit dari barat, maka Siti lulus ujian.
Kalimat ini sering kita dengar, dan dimaksudkan bahwa mustahil Siti akan lulus dalam
menempuh ujiannya. Meskipun dalam implikasi itu tidak ada hubungan antara pendahulu
(matahari terbit dari barat) dan pengikut (Siti lulus ujian). Implikasi itu bernilai benar, sebab
pendahulunya bernilai salah.
Perhatikan tabel nilai kebenaran implikasi (tabel 3.5), maka kita dapat
menyimpulkan :
(1) Implikasi selalu bernilai benar, apabila pendahulunya bernilai salah, tanpa
memperhatikan nilai kebenaran pengikutnya (sesuai baris ke 3 dan 4 dalam tabel 3.5).
Nilai kebenaran pengikutnya, baik Benar atau Salah, jika pendahulunya bernilai Salah,
maka implikasi tersebut bernilai Benar.
(2) Implikasi selalu bernilai benar, apabila pengikutnya bernilai benar, tanpa
memperhatikan nilai kebenaran dari pendahulunya (sesuai baris ke 1 dan 3). Tanpa
mengetahui nilai kebenaran pendahulu, jika diketahui pengikutnya bernilai Benar, maka
implikasi tersebut bernilai Benar.
Implikasi yang dipelajari dalam Matematika adalah implikasi yang didefinisikan
seperti dalam tabel 3.5. Implikasi semacam ini disebut implikasi material.Sedang implikasi
yang dijumpai dalam percakapan sehari-hari disebut implikasi biasa (ordinary implication).
Apabila diketahui bahwa “a Þ b” bernilai benar, maka:
(1) adisebut syarat cukup bagi b, atau
(2) bdisebut syarat perlu bagi a.
Perhatikan bahwa suatu syarat perlu belum tentu merupakan syarat cukup.

Definisi implikasi lanjut  :
Apabila diketahui “a Þb” maka
(1) bÞ a disebut konvers dari a Þb
(2) – a Þ – b disebut invers dari a Þb
(3) – b Þ – a disebut kontraposisi (kontrapositif) dari a Þb .
Definisi 3.5 ini dapat dinyatakan dengan skema sebagai berikut:

Tabel 3.6 adalah tabel nilai kebenaran suatu implikasi beserta konvers, invers, dan
kontraposisinya.
Memperhatikan tabel 3.6 ini, kita dapat menarik beberapa kesimpulan, yaitu:
(1) Implikasi mula-mula ( aÞ b ) dan konversnya tidak selalu mempunyai nilai
kebenaran yang sama.
(2) Implikasi mula-mula dan inversnya tidak selalu mempunyai nilai kebenaran yang
sama.
(3) Implikasi mula-mula selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan
kontraposisinya, dikatakan bahwa “ a Þ b ekuivalen dengan – b Þ – a ” dan
ditulisa Þ b ek – b Þ – a .
Tabel 3.6.Tabel Nilai Kebenaran Implikasi a Þ b
beserta Konvers, Invers dan Kontraposisnya

E. Biimplikasi (Bikondisional)
Biimplikasi a dan b (disimbolkan dengan “a Ûb” ) bernilai benar apabila kedua
pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan mempunyai
bernilai salah apabila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang
berbeda.
Tabel 3.7.Tabel Nilai Kebenaran
Biimplikasi dari a dan b.

Teorema: a Û b
ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )
Bukti: Untuk membuktikan kebenaran teorema itu diperlihatkan tabel nilai kebenarannya sebagai berikut:

Terlihat bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom 3 sama dengan urutan nilai
kebenaran pada kolom 6, berarti:
aÛ b
ek ( a Þ b ) & (b Þ a )
Pada implikasi a Þ b ,a adalah syarat cukup bagi b, dan pada implikasi b Þ a , a
adalah syarat perlu bagi b. Sehingga a Û b berarti a adalah syarat cukup dan perlu bagi b
dan sebaliknya..
Contoh:
Apabila ketiga sisi suatu segitiga sama panjang maka segitiga itu samasisi.
Dimaksudkan bahwa “ketiga sisi suatu segitiga sama panjang bila dan hanya bila segitiga itu
sama sisi”.
Selanjutnya kata perangkai “bila dan hanya bila” disingkat “bhb”. Kita telah
menggunakan singkatan “ek” untuk “ekuivalen”. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen
apabila nilai-nilai kebenarannya sama. Bandingkanlah
aÛ b dengana ek b. Kedua pernyataan ini mempunyai nilai kebenaran sama.

F. Negasi-Negasi dari Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi.
Untuk menentukan negasi-negasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
disusun tabel-tabel kebenarannya dalam satu tabel (tabel 3.9)
Tabel 3.9


Misalkan kita akan menentukan negasi dari (a & b), yaitu –(a & b), nilai-nilai kebenarannya terlihat pada kolom ke-8. Nilai-nilai kebenaran pada kolom itu terdiri atas satu S dan diikuti berturut-turut tiga B. Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “ Ú ”, yaitu –a Ú -b.
Jadi –(a & b) ek –aÚ –b
Nilai-nilai kebenaran dari –(a Ú b) berturut terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 9). Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu -a & -b.
Jadi –(a Ú b) ek -a & -b.
Nilai-nilai kebenaran dari –(a Þ b) terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 10). Hal ini hanya terjadi pada nilai-nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu a & -b. Jadi
–(a Þ b) ek a & -b.
Kita telah mengetahui bahwa b a Û
ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )
Maka–( a Û b ) ek –(( a Þ b ) & ( b Þ a ))
ek –( a Þ b ) Ú –( b Þ a )
ek (a & -b) Ú (b & -a)
Jadi  –( a Û b ) ek (a & -b) Ú (b & -a)

Proposisi

Logika dapat dilacak secara historis mulai dari kelahirannya pada jaman Yunani Kuno yang dipelopori oleh Aristoteles (384-322 SM).Tokoh ini belum menyebutkan dengan istilah “Logika”.Beliau menggunakan istilah “Analitika” dan “Dialektika”. Analitika digunakan untuk menyebut cara penalaran yang berdasarkan pada pernyataan-pernyataan yang benar. Sedang dialektika digunakan untuk menyebut cara penalaran yang berdasarkan pada patokan-patokan duga. Kemudian Analitika dan Dialektika, kedua-duanya merupakan jenis pengetahuan yang disebut Logika.
Dalam perkembangan selanjutnya, Logika pada umumnya dipandang sebagai salah satu cabang pengetahuan Filsafati.Kini, Logika ditetapkan secara pasti sebagai suatu ilmu, yakni ilmu mengenai penyimpulan formal atau ilmu tentang proses-proses penalaran. Hingga pertengahan abad 19, Logika yang paling berpengaruh adalah Logika Tradisional yang diciptakan oleh Aristoteles yang dikembangkan pada masa berikutnya, terutama dari abad 16 sampai abad 19.
Dalam perkembangan Logika, dikenal perbedaan penghampiran dalam menafsirkan tugas dan sifat dasar dari Logika.Berdasarkan hal tersebut, timbul adanya aliran-aliran (mazhab-mazhab) Logika yang didukung oleh ahli-ahli Logika. Pada pokoknya dapat dibedakan adanya lima mazhab besar dalam Logika, yaitu:

 (1) Mazhab Logika Tradisional
Pelopor mazhab ini adalah Aristoteles.Mazhab ini menafsirkan Logika sebagai suatu kumpulan aturan-aturan praktis yang menjadi petunjuk bagi pemikiran.

(2) Mazhab Logika Metafisis
Mazhab ini dipelopori oleh Frederich Hegel (1770-1831). Mazhab ini beranggapan bahwa susunan pikiran itu sebenarnya sama seperti kenyataan, sehingga Logika diangggap sama seperti metafisika. Tugas pokok Logika antara lain menafsirkan pikiran sebagai suatu tahap dari struktur kenyataan. Oleh karena itu untuk mengetahui kenyataan, orang harus belajar Logika dahulu.

(3) Mazhab Logika Epistemologis.
Mazhab ini dipelopori oleh Francis Herbert Bradley (1846-1924) dan Berdnard Bosanquet (1848-1923).Mazhab ini berpendapat bahwa untuk dapat mencapai pengetahuan yang memadai, maka pikiran logis dan perasaan harus digabung.Untuk dapat mencapai suatu kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan lainnya.

(4) Mazhab Logika Instrumentalis.
Pelopor mazhab ini ialah John Dewey (1859-1952).Mazhab ini disebut pula mazhab Logika Pragmatis.Logika ditafsirkan sebagai suatu alat (instrumen) dan langkah-langkah untuk memecahkan suatu masalah.

(5) Mazhab Logika Simbolis.
Pelopor mazhab ini ialah Leibniz, Boole, dan De Morgan.Mazhab ini sangat menekankan pentingnya bahasa simbol yang dipergunakan untuk mempelajari secara terperinci bagaimana akal itu harus bekerja.Metode yang banyak digunakan dalam mazhab ini adalah metode-metode dalam Matematika.Mazhab logika ini telah berkembang sangat teknis dan ilmiah yang sangat bercorak Matematika, sehingga disebutnya Logika Matematika (Mathematical Logic).
Sejak pertengahan abad 19, para ahli Matematika mengembangkan Logika Tradisional dengan metode-metode Matemat Simbolis. Logika Simbolis ini merupakan logika formal yang menelaah semata-mata bentuknya dan bukan isi dari apa yang dibicarakan. Karena kita akan banyak mempelajari Logika Simbolis ini, kirany Logika Simbolis ini merupakan logika formal yang menelaah semata-mata bentuknya dan bukan isi dari apa yang dibicarakan. Karena kita akan banyak mempelajari Logika Simbolis ini, kiranya ada baiknya apabila berikut ini dibicarakan beberapa pendapat tentang Logika Simbolis.
(1) James W. Amstrong dalam bukunya “Elements of Mathematics” menuliskan bahwa: “Logika Simbolis adalah studi tentang bagaimana pernyataan-pernyataan yang diketahui dan bagaimana nilai kebenarannya dapat ditentukan dari nilai-nilai kebenaran pernyataan-pernyataan semula”.
(2) Alonzo Church dalam bukunya “Symbolic Logic” menuliskan antara lain sebagai berikut: “Tujuan dari pembahasan Logika Formal dengan memakai bahasa logika yang diformalkan atau sistem tanda logika ialah menghindarkan makna ganda dan kelemahan logis dari bahasa sehari-hari”.
(3) Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic” menuliskan antara lain sebagai berikut: “Ilmu tentang penyimpulan yang sah, khususnya yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode Matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus akan memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda dari bahasa sehari-hari”.
(4) Corrinne Jacker berpendapat bahwa: “Pemakai simbol-simbol Matematika untuk mewakili bahasa, dan dengan simbol-simbol ini diolah sesuai dengan aturan-aturan Matematika untuk menetapkan apakah suatu pernyataan atau serangkaian pernyataan bernilai benar atau salah.
Pada perkembangan terakhir hingga saat ini, Logika Simbolis (Logika Matematika) mencakup 4 cabang, yaitu:

(1) Logika Pernyataan (Propositional Logic).
Suatu cabang Logika Simbolis yang membicarakan tentang pernyataan tunggal (pernyataan atom = pernyataan prima) dan pernyataan-pernyataan dengan perangkai yang disebut pernyataan majemuk (tersusun). Dalam menentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan tunggalnya diketahui, digunakan beberapa kaidah dan aturan-aturan.Pokok bahasan seperti ini sering disebut Kalkulus Pernyataan.

(2) Logika Sebutan
Logika Sebutan merupakan cabang dari Logika Simbolis yang menelaah tentang perubah (variable) dalam suatu kalimat, kuantifikasi (kuantor) dan aturan-aturan serta tata cara dalam penyimpulan dan menentukan sahnya suatu argumen. Pokok bahasan yang membicarakan ini sering disebut Kalkulus Sebutan.

(3) Logika Hubungan
Logika ini membicarakan hubungan pernyataan-pernyataan, misalnya: hubungan simetris, hubungan refleksif, hubungan transitif dan lain sebagainya. Pengertian, ciri, unsur dan aneka konsep yang bertalian dengan hubungan, juga merupakan pokok pembicaraan dari Logika Hubungan.

(4) Logika Himpunan
Logika Himpunan mempunyai kaitan yang sangat erat dengan Matematika, terutama dengan Teori Himpunan.Logika ini membicarakan tentang unsur-unsur suatu himpunan, operasi-operasi pada himpunan-himpunan dan hukum atau aturan-aturan yang berlaku.
Perkembangan Logika Simbolis mencapai puncaknya pada awal abad 20 dengan terbitnya karya Alfred North Whitehead dan Betrand Arthur William Russel dalam buku yang berjudul “Principia Mathematica”.Menyebutkan bahwa “Logika adalah masa muda dari Matematika dan Matematika adalah masa dewasa dari Logika”.Dengan terbitnya Principia Mathematica itu lahirlah pula aliran Logisisme dalam Matematika, yang semula dirintis oleh Frege. Inti ajaran aliran Logisisme ini karena seluruh konsep dan dalil Matematika dapat dikembalikan pada Logika. Logika tersebut tidak lain adalah Logika Simbolis atau Logika Matematika .Perkembangan berikutnya muncullah tokoh-tokoh Logika Simbolis dari pelbagai negara yang memberikan sumbangan-sumbangan yang sangat berharga, sehingga Logika Simbolis merupakan bidang pengetahuan yang sangat teknis dan sangat ilmiah. Setelah kita mempelajari serba sedikit perkembangan Logika, dapatkah kita menjawab pertanyaan: Apakah Logika itu dan untuk apakah kita mempelajari Logika? Di muka telah disebutkan bahwa Logika adalah suatu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang sah, baik yang bersifat deduktif maupun yang bersifat induktif.Logika sering dikatakan sebagai suatu teori berpikir.Kiranya lebih tepat apabila dikatakan bahwa Logika menuntun kepada kita bagaimana pemikiran itu seharusnya berjalan, dan bukanlah bagaimana pemikiran itu sebenarnya berjalan. Suatu hal yang tidak mudah untuk menganilisis suatu proses pemikiran; artinya, untuk mencoba mengetahui apa sebenarnya yang terjadi dalam suatu proses pemikiran. Karena ia ditentukan sebagian secara logis, sebagian berjalan secara otomatis dan sebagian lagi dapat dikatakan tak menentu. Kiranya sukar pula untuk diterima bahwa kita akan dapat memperbaiki cara kita berpikir dengan secara paksa memasukkan sesuatu dengan kaku yang seluruhnya dikuasai dan diatur oleh operasi-operasi Logika semata-mata. Suatu pemikiran yang produktif biasanya bergerak melalui liku-likunya sendiri yang tidak selalu jelas jalannya. Sehingga yang diamati oleh Logika hanyalah hasil pemikiran dan bukan proses pemikiran itu sendiri. Dengan perkataan lain, Logika sebagai pengatur dan bukan sebagai penggerak bagi pemikiran. Logika merumuskan hukum-hukum yang dapat digunakan sebagai alat untuk menilai apakah hasil suatu pemikiran benar/sah, dan bukanlah hukum-hukum itu akan dikenakan pada pemikiran itu sendiri. Sebab proses pemikiran yang kreatif tidak bergerak melalui jalan-jalan yang telah disediakan lebih dahulu, melainkan mengikuti suatu kaidah duga dan kaidah coba terlebih dahulu. Logika bertugas memisahkan yang benar dan yang salah. Meskipun demikian, kiranya tidak berlebihan apabila kita katakan bahwa dalam batas-batas tertentu kita dapat memperbaiki cara berpikir dengan jalan mempelajari Logika sebagai salah satu cara dalam menertibkan operasi-operasi/cara berpikir, sehingga jumlah hasil yang bernilai benar akan meningkat. Ringkasnya, Logika tidak mampu untuk menggantikan pemikiran yang kreatif.Suatu kekeliruan apabila kita menganggap bahwa Logika sebagai suatu teknik, sehingga setiap masalah dapat dipecahkan.

KALIMAT PERNYATAAN ATAU PROPOSISI
Setiap kumpulan kata yang berarti yang disusun menurut aturan tata bahasa disebut kalimat.Kalimat yang dibicarakan dalam logika Matematika adalah kalimat-kalimat yang menerangkan (indicative sentences/declarative sentences). Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu nilai benar atau nilai salah tetapi tidak kedua-duanya disebut pernyataan. Sekarang akan dibicarakan perbedaan antara pernyataan (statement) dan proposisi (proposition). Beberapa penulis, kedua istilah itu dianggap sama, bahkan dipakai secara berganti-ganti. Beberapa penulis lain hanya menyebutkan pernyataan, dan tidak menyebut-nyebut proposisi. Beberapa penulis lainnya lagi membedakan antara kedua istilah tersebut. Bagi kelompok pertama, yaitu penulis-penulis yang menganggap sama antara proposisi dan pernyataan (kalimat deklaratif) menyimpulkan bahwa istilah-istilah itu didefinisikan sebagai kalimat yang mempunyai nilai benar atau nilai salah, tetapi tidak kedua-duanya.

PERNYATAAN MAJEMUK DANTABEL KEBENARAN
Pada pembicaraan ini dan seterusnya kita hanya membicarakan pernyataan-pernyataan
saja. Pernyataan-pernyataan sederhana digandengkan menjadi pernyataan majemuk
(tersusun) dengan menggunakan kata-kata perangkai (penghubung). Kata-kata perangkai itu
adalah :
(1) “atau” dengan simbol “ Ú ”
(2) “dan” dengan simbol “&” atau “ Ù ”
(3) “apabila …. maka….” dengan simbol “ Þ ”
(4) “bila dan hanya bila” dengan simbol “ Û ”
Sedangkan negasi (sangkalan) suatu pernyataan digunakan kata-kata “tidak benar
bahwa” yang diberi simbol “-” di depan pernyataan yang disangkal (diingkar). Di depan
telah dikatakan bahwa pernyataan-pernyataan diberi simbol dengan huruf alfabet kecil: a, b,
c, d, ….. Sedangkan nilai “Benar” atau “Salah” suatu pernyataan disingkat berturut-turut
dengan “B” atau “S”.

A. Negasi (Sangkalan/Ingkaran)  ” -  “
Negasi suatu pernyataan ialah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan
semula bernilai benar, dan bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah.
Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel yang disebut tabel kebenaran untuk
negasi suatu pernyataan sebagai berikut:
Tabel 3.1.Tabel Nilai Kebenaran

Contoh : Jika a: “Ida suka mangga”
maka –a : “Tidak benar bahwa Ida suka mangga”.

B. Konjungsi Dua Pernyataan  ”a^b”

Konjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a & b” (dibaca “a dan b”) bernilai B
(benar), hanya apabila kedua pernyataan tunggalnya bernilai B, dan untuk nilai-nilai
kebenarana dan b lainnya, maka “a & b” bernilai S (salah).
Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran (tabel 3.2) konjungsi
dua pernyataan a dan b.
Tabel 3.2.Tabel Nilai Kebenaran
Konjungsi Dua Pernyataan a dan b

Contoh :
1) Misalkan “a” menyatakan “Tembok itu berwarna hitam”, maka negasi a yaitu “-a”
menyatakan “Tidak benar bahwa tembok itu berwarna hitam”. Lebih ringkas dikatakan
“Tembok itu tidak berwarna hitam”.
Apabila “b” menyatakan “Tembok itu berwarna putih”, maka b bukan negasi dari a.
Sebab apabila kenyataannya tembok itu berwarna hijau, maka baik a maupun b kedua
pernyataan bernilai salah. Hal ini bertentangan dengan definisi 3.1.
2) Jika p dan q keduanya bilangan real, maka negasi dari “p > q” adalah “tidak benar bahwa
p> q”. Tidak benar bahwa p > q tidak berarti bahwa p < q, sebab jika kenyataannya p =
q, maka baik p > q maupun p < q keduanya bernilai salah. Sehingga negasi dari “p > q”
adalah “p £ q”.
a -a -(-a)
Catatan: Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu berlainan,
artinya jika suatu pernyataan diketahui bernilai B, maka negasinya bernilai S dan
sebaliknya jika suatu pernyataan diketahui bernilai S, maka negasinya bernilai B.

C. Disjungsi Dua Pernyataan
Disjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a Ú b” (dibaca: “a atau b”) bernilai S hanya
apabila dua pernyataan tunggalnya bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a
danb lainnya, maka “a Ú b” bernilai B.
Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran disjungsi dua pernyataan a
danb (tabel 3.3) sebagai berikut:
Tabel 3.3.Tabel Nilai Kebenaran
Disjungsi Dua Pernyataan a dan b

Contoh:
1) “7 adalah bilangan prima atau 7 lebih besar dari 8” adalah disjungsi yang bernilai benar
(sesuai baris kedua dari tabel 3.3).
2) “5 adalah bilangan prima atau 5 membagi habis 20” adalah suatu dijungsi yang bernilai
benar.
3) “ 6 adalah faktor dari 9 atau 4 + 7 = 10” adalah suatu dijungsi yang bernilai salah.
4) Apabila x bilangan nyata, maka (x – 1)(x – 5) = 0 dipenuhi jika x = 1 Ú x = 5.
Disjungsi dua pernyataan yang didefinisikan sesuai dengan tabel 3.3 disebut disjungsiinklusif. Disjungsi jenis lain disebut disjungsi eksklusif. Disjungsi eksklusif dua pernyataan
adan b disimbolkan sebagai “a Ú b” (dibaca “atau a atau b”) dan didefinisikan sesuai dengan
tabel 3.4. Dalam buku ini, apabila ditentukan suatu disjungsi tanpa keterangan apa-apa, maka
yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.
Tabel 3.4.Tabel Nilai Kebenaran
Disjungsi Eksklusif dari a dan b.

D. Implikasi (Kondisional) Dua Pernyataan
Implikasi dua pernyataan a dan b diberi simbol “a Þ b” (dibaca “apabila a maka b”).
adisebut pendahulu (antecedent) dan b disebut pengikut (consequent).
Implikasi “a Þ b” bernilai S hanya apabila pendahulu a bernilai B dan pengikut b
bernilai S, untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka implikasi “a Þ b”
bernilai B.
Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran implikasi
aÞ b (tabel 3.5) berikut.
Tabel 3.5.Tabel Nilai Kebenaran
Implikasi a Þ b

Dalam percakapan sehari-hari pernyataan majemuk “apabila … maka …” biasanya
ada suatu hubungan antara pendahulu dan pengikut.
Contoh:
Apabila matahari terbit dari barat, maka Siti lulus ujian.
Kalimat ini sering kita dengar, dan dimaksudkan bahwa mustahil Siti akan lulus dalam
menempuh ujiannya. Meskipun dalam implikasi itu tidak ada hubungan antara pendahulu
(matahari terbit dari barat) dan pengikut (Siti lulus ujian). Implikasi itu bernilai benar, sebab
pendahulunya bernilai salah.
Perhatikan tabel nilai kebenaran implikasi (tabel 3.5), maka kita dapat
menyimpulkan :
(1) Implikasi selalu bernilai benar, apabila pendahulunya bernilai salah, tanpa
memperhatikan nilai kebenaran pengikutnya (sesuai baris ke 3 dan 4 dalam tabel 3.5).
Nilai kebenaran pengikutnya, baik Benar atau Salah, jika pendahulunya bernilai Salah,
maka implikasi tersebut bernilai Benar.
(2) Implikasi selalu bernilai benar, apabila pengikutnya bernilai benar, tanpa
memperhatikan nilai kebenaran dari pendahulunya (sesuai baris ke 1 dan 3). Tanpa
mengetahui nilai kebenaran pendahulu, jika diketahui pengikutnya bernilai Benar, maka
implikasi tersebut bernilai Benar.
Implikasi yang dipelajari dalam Matematika adalah implikasi yang didefinisikan
seperti dalam tabel 3.5. Implikasi semacam ini disebut implikasi material.Sedang implikasi
yang dijumpai dalam percakapan sehari-hari disebut implikasi biasa (ordinary implication).
Apabila diketahui bahwa “a Þ b” bernilai benar, maka:
(1) adisebut syarat cukup bagi b, atau
(2) bdisebut syarat perlu bagi a.
Perhatikan bahwa suatu syarat perlu belum tentu merupakan syarat cukup.

Definisi implikasi lanjut  :
Apabila diketahui “a Þb” maka
(1) bÞ a disebut konvers dari a Þb
(2) – a Þ – b disebut invers dari a Þb
(3) – b Þ – a disebut kontraposisi (kontrapositif) dari a Þb .
Definisi 3.5 ini dapat dinyatakan dengan skema sebagai berikut:

Tabel 3.6 adalah tabel nilai kebenaran suatu implikasi beserta konvers, invers, dan
kontraposisinya.
Memperhatikan tabel 3.6 ini, kita dapat menarik beberapa kesimpulan, yaitu:
(1) Implikasi mula-mula ( aÞ b ) dan konversnya tidak selalu mempunyai nilai
kebenaran yang sama.
(2) Implikasi mula-mula dan inversnya tidak selalu mempunyai nilai kebenaran yang
sama.
(3) Implikasi mula-mula selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan
kontraposisinya, dikatakan bahwa “ a Þ b ekuivalen dengan – b Þ – a ” dan
ditulisa Þ b ek – b Þ – a .
Tabel 3.6.Tabel Nilai Kebenaran Implikasi a Þ b
beserta Konvers, Invers dan Kontraposisnya

E. Biimplikasi (Bikondisional)
Biimplikasi a dan b (disimbolkan dengan “a Ûb” ) bernilai benar apabila kedua
pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan mempunyai
bernilai salah apabila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang
berbeda.
Tabel 3.7.Tabel Nilai Kebenaran
Biimplikasi dari a dan b.

Teorema: a Û b
ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )
Bukti: Untuk membuktikan kebenaran teorema itu diperlihatkan tabel nilai kebenarannya sebagai berikut:

Terlihat bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom 3 sama dengan urutan nilai
kebenaran pada kolom 6, berarti:
aÛ b
ek ( a Þ b ) & (b Þ a )
Pada implikasi a Þ b ,a adalah syarat cukup bagi b, dan pada implikasi b Þ a , a
adalah syarat perlu bagi b. Sehingga a Û b berarti a adalah syarat cukup dan perlu bagi b
dan sebaliknya..
Contoh:
Apabila ketiga sisi suatu segitiga sama panjang maka segitiga itu samasisi.
Dimaksudkan bahwa “ketiga sisi suatu segitiga sama panjang bila dan hanya bila segitiga itu
sama sisi”.
Selanjutnya kata perangkai “bila dan hanya bila” disingkat “bhb”. Kita telah
menggunakan singkatan “ek” untuk “ekuivalen”. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen
apabila nilai-nilai kebenarannya sama. Bandingkanlah
aÛ b dengana ek b. Kedua pernyataan ini mempunyai nilai kebenaran sama.

F. Negasi-Negasi dari Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi.
Untuk menentukan negasi-negasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
disusun tabel-tabel kebenarannya dalam satu tabel (tabel 3.9)
Tabel 3.9


Misalkan kita akan menentukan negasi dari (a & b), yaitu –(a & b), nilai-nilai kebenarannya terlihat pada kolom ke-8. Nilai-nilai kebenaran pada kolom itu terdiri atas satu S dan diikuti berturut-turut tiga B. Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “ Ú ”, yaitu –a Ú -b.
Jadi –(a & b) ek –aÚ –b
Nilai-nilai kebenaran dari –(a Ú b) berturut terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 9). Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu -a & -b.
Jadi –(a Ú b) ek -a & -b.
Nilai-nilai kebenaran dari –(a Þ b) terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 10). Hal ini hanya terjadi pada nilai-nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu a & -b. Jadi
–(a Þ b) ek a & -b.
Kita telah mengetahui bahwa b a Û
ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )
Maka–( a Û b ) ek –(( a Þ b ) & ( b Þ a ))
ek –( a Þ b ) Ú –( b Þ a )
ek (a & -b) Ú (b & -a)
Jadi  –( a Û b ) ek (a & -b) Ú (b & -a)

Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

 

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

2). Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Relasi

Matriks relasi dan diagram panah, relasi invers

Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi. Representasi Relasi dengan Diagram Panah, misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, gambar dua buah lingkaran lalu ditulis dengan elemen-elemen A dan B pada masing-masing lingkaran. Untuk menggambarkan hubungan antara dua anggota himpunan, misalnya A dengan B, kita bisa menggunakan pasangan berurut (ordered pairs).

Contoh dengan diagram panah :

RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}

R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B

R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.

Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.

Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}

R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}

Domain = {2,4}

Range = {a,c}

http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0371%20Mat%201-4a.htm

Himpunan dan Bilangan

Pembahasan tentang bilangan bulat (integers) tidak bisa dipisahkan dari uraian tantang bilangan asli (natural numbers) dan bilangan cacah (whole members) karena kreasi tentang bilangan-bilangan ini merupakan proses sosial dan budaya yang berlangsung berurutan dalam waktu ribuan tahun.

Konsep tentang bilangan dan cara mencacah (menghitung, counting) berkembang selama sekitar 15.000 tahun, mulai dari zaman prasejarah (poleolithic, Old Stone Age) sampai dengan zaman sejarah (sekitar tahun 400 S.M.). Dalam periode atau zaman ini, mereka diduga telah emmpelajari cara bertani atau bercocok taman, cara berternak, cara menggunakankaleder, cara mengukur atau menimbang berat, cara memindahkan barang dengan kereta atau gerobak, cara membuat perahu, cara berburu, cara pengobatan tradisional, dan cara berhitung.

1. Bilangan Asli
             

Sejak periode sejarah, diduga dimulai sekitar tahun 400 S.M., orang melalui memikirkan bilangan sebagai konsep abstrak. Misalnya, mereka menyebut tiga kerikil dan tiga binatang mempunyai sifat persekutuan, yaitu suatu kuantitas yang disebut tiga. Sifat persekutuan tiga ini bisa dimiliki oleh kelompok benda apa saja sehingga sifat ini menjadi terbatas dari obyek atau sasaran pembicaraan. Dalam istilah yang lebih sederhana, sifat-sifat persekutuan satuan (oneness), duaan (twoness), atau tigaan (threeness) merupakan sifat persekutuan yang dimiliki oleh sebarang kumpulan benda untuk menunjukkan kesamaan kuantitas.

Keperluan tentang kuantitas merupakan kebutuhan dasar manusia dalam kehidupan berkeluarga dan bermasyarakat, terutama untuk menghitung (mencacah) dan mem­ban­dingkan jumlah barang atau benda.

Ke­perluan menghitung (mencacah, counting) mendorong orang untuk mencari cara yang mudah, antara lain dengan membuat lambang bilangan (muneral) dan cara me­ng­gu­nakannya (sistem numerasi). Sistem numerasi membuat sekumpulan lambang dasar dan sejumlah atauran untuk menghasilkan lambang-lambang bilangan yang lain. Beberapa peradaban yang telah mengembangkan sistem numerasi antara lain adalah Mesir (sekitar tahun 3000 S.M.), Babylonia (sekitar tahun 2000 S.M.), Yunani atau Greek (sekitar tahun 600 S.M.), Mayan (sekitar tahun 300 S.M.), Jepang – China (sekitar tahun 200 S.M.), Romawi (sekitar tahun 100 M), dan Hindu-Arab (mulai sekitar tahun 300 S.M. di India, mengalami perubahan di wilayah timur tengah sekitar tahun 750 Masehi, berkembang di Eropa dan dipakai di seluruh dunia sampai sekarang). Dari uraian di atas kita dengan singkat telah melihat perjalanan pengembangan konsep bilangan sejak pertama kali pada zaman Poleolithic sampai pada zaman sejarah. Dengan demikian kita perlu membuat asumsi bahwa manusia telah menemukan konsep bilangan asli (counting/natural members) dan telah menemukan himpunan lambang untuk me­nya­takan konsep bilangan asli yaitu 1, 2, 3, 4, …

Untuk selanjutnya himpunan bilangan asli dinyatakan dengan

N = {1, 2, 3, 4, … }

2.  Bilangan Cacah 

Untuk kepentingan masyarakat zaman pertanian, sebelum zaman revolusi, mereka hanya memerlukan mencacah, menjumlah, dan mengalikan. Seiring dengan per­kem­bangan zaman, mesyarakat memerlukan sistem bilangan yang dapat memenuhi ke­per­lu­an lain, yaitu mengurangkan dan membagi. Dengan demikian mereka mem­pu­nyai tun­tutan pekerjaan yang tidak sekedar berhitung (aritmetika) tetapi hal lain yang lebih luas.

Jika sebelumnya mereka menerima pernyataan tanpa bukti (postulat):

p + q  adalah suatu bilangan asli

p x q  adalah suatu bilangan asli

maka kesulitan akan muncul ketika pengertian pengurangan mulai diperkenalkan melalui penjumlahan:

p – q =  r  jika ada r sedemikian hingga p = q + r

Kita bisa melihat kesulitan itu. Pengurangan pada unsur-unsur hipunan bilangan asli dapat dilakukan hanya jika p lebih dari q, artinya himpunan bilangan asli tidak bersifat tertutup terhadap pengurangan. Pada awalnya tentu mereka memahami bahwa:

3 – 2 =  1, 4 – 3 = 1, 5 – 4 =  1

dan mulai mempertanyakan bagaimana dengan

3 – 3 = ? , 4 – 4 = ?,  5 – 5 = ?

Jawabannya adalah mereka perlu “tambahan” bilangan baru, yang kemudian disebut dengan nol (zero), yang diberi makna:

3 = 3 + 0, 4 = 4 + 0, 5 = 5 + 0

Sekarang kita telah menambahkan unsur baru 0 ke dalam sistem bilangan asli, sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan cacah, dinyatakan dengan:

W = {0, 1, 2, 3, 4, …}

3.  Bilangan Bulat

Dengan berkembangnya masyarakat industri, manusia memerlukan bilangan untuk ke­perluan pembukuan tingkat lanjut, antara lain untuk menghitung hutang dan pihutang, serta tabungan dan pinjaman. Pertanyaan yang muncul serupa dengan permasalahan:

6 – 7 = ?,  8 – 10 = ?, 3 – 10 = ?

Permasalahan ini serupa dengan usaha menambah bilangan-bilangan baru di dalam W sehingga mereka dapat melakukan semua pengurangan, atau himpunan baru yang di­peroleh bersifat tertutup terhadap pengurangan.

Jawaban terhadap kesulitan mereka adalah tambahan bilangan-bilangan baru yang diperoleh dari:

0 – 1, 0 – 2, 0 – 3, 0 – 4, …

yang kemudian dilambangkan dengan:

-1, -2, -3, -4, …

sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan bulat, dan dinyatakan dengan:

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Dengan  digunakannya garis bilangan untuk menyatakan representasi bilangan, dan mem­beri makna terhadap bilangan-bilangan di sebelah kanan nol sebagai bilangan po­sitif serta di sebelah kiri nol sebagai bilangan negatif, maka himpunan bilangan bulat da­pat dinyatakan sebagai:

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

4. Bilangan Rill

Bilangan Rill adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3